이 글은 전파거북이님의 블로그에서 퍼온글입니다.
[동영상]
1. Derek Owens - Math and Physics: Algebra 2 - Complex Numbers
실수(實數, real number)는 연산이 잘 정의되어 누구나 사칙연산과 대수(代數, algebra)를 손쉽게 사용할 수 있다. 하지만, 복소수는 식 (1)의 규칙에 따라 계산을 해야 원하는 답을 얻을 수 있다.
(1)
숙달이 되면 그리 어렵지는 않지만 식 (1)의 규칙으로 인해 초보자들은 복소수 계산을 제대로 하지 못하는 경우가 많다. 단지, 식 (1)과 같이 i와 i가 곱해지면 실수 -1로 바꾸면 된다. 이 규칙만 기억하면 복소수 계산은 실수 계산과 거의 동일하다.
하지만, 이런 복잡한 숫자인 복소수는 도대체 왜 사용할까?
이차방정식(二次方程式, quadratic equation)의 해(解, solution)를 구할 때 실수만 고려하면 해가 존재하지 않는 문제가 발생하기 때문에 모든 이차방정식의 해를 항상 찾을 수 있도록 도입한 상상의 수가 복소수이다. 즉, 식 (2)를 만족하는 새로운 수를 찾은 것이 식 (1)에 제시한 i =sqrt(-1) 상수이다.
(2)
여기서 식 (1), (2)와 같은 수를 허수(虛數, imaginary number)라고 부른다.
실수는 항상 같은 수를 곱하면 0보다 크거나 같으므로 실수 범위내에서 식 (2)는 틀린 부등식이다. 하지만, 이차방정식에는 식 (2)의 첫째줄과 같은 경우가 생길 수 있다.
식 (2)와 같이 식을 변형해 가고 식 (1)의 허수를 상수처럼 취급하면 식 (2)의 세째줄은 풀 수 있는 방정식이 된다. 왜냐하면 제곱한 값이 0보다 크기 때문이다.
식 (2)의 답은 0을 제외한 허수축에 있는 모든 수이다. 하지만, 복소수 자체는 식 (2)의 첫째줄 같이 부등식 자체가 성립하지 않기 때문에 복소수는 크기 비교를 할 수 없다. 즉, 식 (1)의 상수는 0보다 크지도 않고 0보다 작지도 않다. 그렇다고 0인 것도 아니다. 허수 상수는 크기를 정의할 수 없다. (∵ 만약 식 (1)의 상수가 0보다 크다면 같은 수를 곱하면 계속 0보다 커야 하나 0보다 작다. 만약 식 (1)의 상수가 0보다 작다면 같은 수를 곱하면 0보다 커야 하나 0보다 작아진다. 식 (1)의 허수 상수는 부등식이 맞지 않는 이상한 수이다.)
복소수(z = x + y*i) 정의에 쓰이는 식 (1)의 i = sqrt(-1)을 단순 상수(常數, constant)라고 가정하면 실수와 동일하게 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙이 성립한다. 이때 실수와 차이나는 부분은 식 (1)이 성립한다는 가정이다.
이를 이용하여 복소수의 사칙연산을 계산하자.
1. 실수배
(3)
2. 덧셈
(4)
3. 뺄셈
(5)
4. 켤레복소수(complex conjugate)
- Re(z) = x = (z + z*)/2
- Im(z) = y = (z - z*)/(2i)
(6)
5. 곱셈
(7)
6. 나눗셈
(8)
7. 절대값(absolute value): 복소수의 크기(magnitude) = 실수
(9)
나눗셈의 경우는 행렬을 사용하여 새롭게 정의할 수 있다.
(10)
w = xw + yw*i인 경우 나눗셈 (10)의 우변을 행렬(行列, matrix)로 표현하면 식 (11)이 된다.
(11)
식 (11)을 이용하여 w를 구하려면 역행렬(逆行列, inverse matrix)을 취하면 된다.
(12)
식 (12)를 계산하면 식 (8)의 결과를 얻을 수 있다.
실수 계산에 익숙한 사람에게는 식 (3)에서 (9)까지는 별 감흥은 없다. 단지 i*i가 출현하는 경우 식 (1)의 규칙에 의해 -1로만 바꾸면 된다.
복소수를 아름답게 만드는 조건은 다른 곳에 있다.
먼저 exp, sin, cos 함수에 대한 테일러 급수를 아래와 같이 계산하자.
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
여기서 적분상수는 편의상 생략했고 식 (17)은 삼각함수의 미분과 역함수의 미분, 식 (18)은 로그함수의 미분을 고려하면 쉽게 증명할 수 있다. 식 (17)과 (18)은 동일한 함수를 다른 방법으로 적분했으므로 두 결과는 같아야 한다. 식 (17)과 (18)을 같다고 두면 식 (16)이 증명된다.
베르누이(Johann Bernoulli: 오일러의 스승)가 1702년에 고려한 적분 (17)과 (18)은 이후 오일러도 고민하던 적분이다. 하지만, 식 (18)의 로그함수는 주어진 x에 대해 여러값을 가지므로(∵ 식 (17)의 우변이나 식 (18)의 마지막줄은 각도이므로 360도의 배수를 항상 가질 수 있다) 오일러도 큰 의미를 두지 않다가 1748년에 무한급수를 이용하여 정확하게 식 (16)을 증명했다.
식 (18)의 로그함수가 가진 다가성(多價性, multi-valuedness)은 복소함수의 영역 제한을 통해 후대에 해결되었다.
식 (16)에 있는 편각(偏角, argument) φ를 변화시키면 φ = 0일 때는 exp(0) = 1이었다가 φ = π/2 (90도)이면 exp(i*π/2) = i가 된다. 즉, 1과 i는 90도 차이를 가지고 있으므로 [그림 1]과 같은 실수축과 허수축이 직교하는 복소평면에 복소수를 표현할 수 있다. [그림 2]는 이런 특성을 오일러 공식 관점에서 보여준다.
[그림 1]과 [그림 2]처럼 복소수는 평면상의 한 점을 표현하기 때문에 [그림 3]과 같이 복소수에 기하학적 의미를 부여할 수 있다.
[그림 3a]는 마치 힘의 합성법칙과 유사하다. 복소수 덧셈의 이런 기하학적 성질로 인해 복소수를 이용하면 2차원 벡터(vector)를 표현할 수 있다. 3차원 벡터를 표현하려면 사원수(四元數, quarternion)를 사용해야 한다.
[그림 3b]는 최종결과인 X가 회전한 것처럼 표현된다. 오일러 공식을 이용하면 곱셈과 나눗셈은 다음과 같은 회전특성을 가진다.
(19)
(20)
식 (19)와 (20)을 보면 곱셈인 경우는 편각이 서로 더해지며(or 양의 방향으로 회전하며), 나눗셈인 경우는 편각이 서로 빼진다(or 음의 방향으로 회전한다).
복소수의 복소수 거듭제곱 i^i는 얼마일까? 오일러 공식인 식 (16)을 i^i에 적용하면 아주 놀라운 결과가 얻어진다. 아래 식 (21)을 보면 답은 의외로 실수이다.
(21)
그런데 식 (21)은 문제가 있다. 각도 90도(= π/2 )와 같은 각도는 360도의 배수 전부이다. 따라서 식 (21)의 답은 한 개가 아니고 식 (22)와 같이 무한개가 된다. 이런 함수의 다가성은 복소함수론의 오묘한 부분이다.
(22)
여기서 m은 임의의 정수이다. m = 0인 경우가 식 (21)이다.
식 (16)의 오일러 공식을 이용하면 아래 있는 드무아브르 공식(de Moivre's formula)을 쉽게 증명할 수 있다.
(23)
식 (23)에서 조심할 부분은 n이 정수가 아니면 성립하지 않는다는 것이다. n이 정수가 아니면다가성(多價性, multi-valuedness)을 반드시 고려해야 한다.
거듭제곱 함수의 다가성을 좀더 이해하기 위해 sqrt(z)를 생각해보자.
(24)
복소수 z의 편각이 360도 범위에 있는지 720도 범위에 있는지에 따라(한바퀴 돌든지 두바퀴 돌든지 실제 편각은 동일하다.) 거듭제곱 함수의 최종답은 +1이 곱해질 수도 있고 -1이 곱해질 수도 있다. 즉, 하나의 입력에 답은 두 개가 나오는 괴상한 형태가 된다. 이 문제를 해결하려면 편각의 범위를 720도 범위로 넓히고 복소수 z의 편각이 720도 범위에서 어디 있는지 반드시 표시를 해야한다.
거듭제곱 함수는 다음 관계식이 성립한다.
(25)
식 (25)의 우변이 두 개의 값을 가지는 것은 식 (24)의 논의를 통해 분명히 이해할 수 있다. 식 (25)의 증명은 양변을 제곱하면 얻을 수 있다.
(26)
1. Derek Owens - Math and Physics: Algebra 2 - Complex Numbers
[그림 1] 복소평면에 표시한 복소수(출처: wikipedia.org)
실수(實數, real number)는 연산이 잘 정의되어 누구나 사칙연산과 대수(代數, algebra)를 손쉽게 사용할 수 있다. 하지만, 복소수는 식 (1)의 규칙에 따라 계산을 해야 원하는 답을 얻을 수 있다.
(1)숙달이 되면 그리 어렵지는 않지만 식 (1)의 규칙으로 인해 초보자들은 복소수 계산을 제대로 하지 못하는 경우가 많다. 단지, 식 (1)과 같이 i와 i가 곱해지면 실수 -1로 바꾸면 된다. 이 규칙만 기억하면 복소수 계산은 실수 계산과 거의 동일하다.
하지만, 이런 복잡한 숫자인 복소수는 도대체 왜 사용할까?
이차방정식(二次方程式, quadratic equation)의 해(解, solution)를 구할 때 실수만 고려하면 해가 존재하지 않는 문제가 발생하기 때문에 모든 이차방정식의 해를 항상 찾을 수 있도록 도입한 상상의 수가 복소수이다. 즉, 식 (2)를 만족하는 새로운 수를 찾은 것이 식 (1)에 제시한 i =sqrt(-1) 상수이다.
(2)여기서 식 (1), (2)와 같은 수를 허수(虛數, imaginary number)라고 부른다.
실수는 항상 같은 수를 곱하면 0보다 크거나 같으므로 실수 범위내에서 식 (2)는 틀린 부등식이다. 하지만, 이차방정식에는 식 (2)의 첫째줄과 같은 경우가 생길 수 있다.
식 (2)와 같이 식을 변형해 가고 식 (1)의 허수를 상수처럼 취급하면 식 (2)의 세째줄은 풀 수 있는 방정식이 된다. 왜냐하면 제곱한 값이 0보다 크기 때문이다.
식 (2)의 답은 0을 제외한 허수축에 있는 모든 수이다. 하지만, 복소수 자체는 식 (2)의 첫째줄 같이 부등식 자체가 성립하지 않기 때문에 복소수는 크기 비교를 할 수 없다. 즉, 식 (1)의 상수는 0보다 크지도 않고 0보다 작지도 않다. 그렇다고 0인 것도 아니다. 허수 상수는 크기를 정의할 수 없다. (∵ 만약 식 (1)의 상수가 0보다 크다면 같은 수를 곱하면 계속 0보다 커야 하나 0보다 작다. 만약 식 (1)의 상수가 0보다 작다면 같은 수를 곱하면 0보다 커야 하나 0보다 작아진다. 식 (1)의 허수 상수는 부등식이 맞지 않는 이상한 수이다.)
복소수(z = x + y*i) 정의에 쓰이는 식 (1)의 i = sqrt(-1)을 단순 상수(常數, constant)라고 가정하면 실수와 동일하게 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙이 성립한다. 이때 실수와 차이나는 부분은 식 (1)이 성립한다는 가정이다.
이를 이용하여 복소수의 사칙연산을 계산하자.
1. 실수배
(3)2. 덧셈
(4)3. 뺄셈
(5)4. 켤레복소수(complex conjugate)
- Re(z) = x = (z + z*)/2
- Im(z) = y = (z - z*)/(2i)
(6)5. 곱셈
(7)6. 나눗셈
(8)7. 절대값(absolute value): 복소수의 크기(magnitude) = 실수
(9)나눗셈의 경우는 행렬을 사용하여 새롭게 정의할 수 있다.
(10)w = xw + yw*i인 경우 나눗셈 (10)의 우변을 행렬(行列, matrix)로 표현하면 식 (11)이 된다.
(11)식 (11)을 이용하여 w를 구하려면 역행렬(逆行列, inverse matrix)을 취하면 된다.
(12)식 (12)를 계산하면 식 (8)의 결과를 얻을 수 있다.
[복소수의 극형식(polar form for complex number)]
실수 계산에 익숙한 사람에게는 식 (3)에서 (9)까지는 별 감흥은 없다. 단지 i*i가 출현하는 경우 식 (1)의 규칙에 의해 -1로만 바꾸면 된다.
복소수를 아름답게 만드는 조건은 다른 곳에 있다.
먼저 exp, sin, cos 함수에 대한 테일러 급수를 아래와 같이 계산하자.
(13) (14) (15)
식 (13)과 (15)에서 -1 = i*i = i^2로 바꾸면 놀라운 공식 하나를 얻을 수 있다. 식 (16)은 오일러(Leonhard Euler) 공식(Euler's formula)이라 부른다.
(16)
식 (16)은 1748년에 오일러가 식 (13)에서 (15)까지의 무한급수를 비교하여 증명한 공식이다.오일러의 공식은 적분을 통해서도 아래와 같이 증명가능하다.
(17) (18)여기서 적분상수는 편의상 생략했고 식 (17)은 삼각함수의 미분과 역함수의 미분, 식 (18)은 로그함수의 미분을 고려하면 쉽게 증명할 수 있다. 식 (17)과 (18)은 동일한 함수를 다른 방법으로 적분했으므로 두 결과는 같아야 한다. 식 (17)과 (18)을 같다고 두면 식 (16)이 증명된다.
베르누이(Johann Bernoulli: 오일러의 스승)가 1702년에 고려한 적분 (17)과 (18)은 이후 오일러도 고민하던 적분이다. 하지만, 식 (18)의 로그함수는 주어진 x에 대해 여러값을 가지므로(∵ 식 (17)의 우변이나 식 (18)의 마지막줄은 각도이므로 360도의 배수를 항상 가질 수 있다) 오일러도 큰 의미를 두지 않다가 1748년에 무한급수를 이용하여 정확하게 식 (16)을 증명했다.
식 (18)의 로그함수가 가진 다가성(多價性, multi-valuedness)은 복소함수의 영역 제한을 통해 후대에 해결되었다.
식 (16)에 있는 편각(偏角, argument) φ를 변화시키면 φ = 0일 때는 exp(0) = 1이었다가 φ = π/2 (90도)이면 exp(i*π/2) = i가 된다. 즉, 1과 i는 90도 차이를 가지고 있으므로 [그림 1]과 같은 실수축과 허수축이 직교하는 복소평면에 복소수를 표현할 수 있다. [그림 2]는 이런 특성을 오일러 공식 관점에서 보여준다.
[그림 2] 크기와 편각을 가진 복소수(출처: wikipedia.org)
[그림 1]과 [그림 2]처럼 복소수는 평면상의 한 점을 표현하기 때문에 [그림 3]과 같이 복소수에 기하학적 의미를 부여할 수 있다.
(a) 덧셈: X = A + B
(b) 곱셈: X = A*B
(c) 켤레복소수: X = conj(A)
[그림 3] 복소수의 기하학적 표현(출처: wikipedia.org)
[그림 3a]는 마치 힘의 합성법칙과 유사하다. 복소수 덧셈의 이런 기하학적 성질로 인해 복소수를 이용하면 2차원 벡터(vector)를 표현할 수 있다. 3차원 벡터를 표현하려면 사원수(四元數, quarternion)를 사용해야 한다.
[그림 3b]는 최종결과인 X가 회전한 것처럼 표현된다. 오일러 공식을 이용하면 곱셈과 나눗셈은 다음과 같은 회전특성을 가진다.
(19) (20)식 (19)와 (20)을 보면 곱셈인 경우는 편각이 서로 더해지며(or 양의 방향으로 회전하며), 나눗셈인 경우는 편각이 서로 빼진다(or 음의 방향으로 회전한다).
복소수의 복소수 거듭제곱 i^i는 얼마일까? 오일러 공식인 식 (16)을 i^i에 적용하면 아주 놀라운 결과가 얻어진다. 아래 식 (21)을 보면 답은 의외로 실수이다.
(21)그런데 식 (21)은 문제가 있다. 각도 90도(= π/2 )와 같은 각도는 360도의 배수 전부이다. 따라서 식 (21)의 답은 한 개가 아니고 식 (22)와 같이 무한개가 된다. 이런 함수의 다가성은 복소함수론의 오묘한 부분이다.
(22)여기서 m은 임의의 정수이다. m = 0인 경우가 식 (21)이다.
식 (16)의 오일러 공식을 이용하면 아래 있는 드무아브르 공식(de Moivre's formula)을 쉽게 증명할 수 있다.
(23)식 (23)에서 조심할 부분은 n이 정수가 아니면 성립하지 않는다는 것이다. n이 정수가 아니면다가성(多價性, multi-valuedness)을 반드시 고려해야 한다.
거듭제곱 함수의 다가성을 좀더 이해하기 위해 sqrt(z)를 생각해보자.
(24)복소수 z의 편각이 360도 범위에 있는지 720도 범위에 있는지에 따라(한바퀴 돌든지 두바퀴 돌든지 실제 편각은 동일하다.) 거듭제곱 함수의 최종답은 +1이 곱해질 수도 있고 -1이 곱해질 수도 있다. 즉, 하나의 입력에 답은 두 개가 나오는 괴상한 형태가 된다. 이 문제를 해결하려면 편각의 범위를 720도 범위로 넓히고 복소수 z의 편각이 720도 범위에서 어디 있는지 반드시 표시를 해야한다.
거듭제곱 함수는 다음 관계식이 성립한다.
(25)식 (25)의 우변이 두 개의 값을 가지는 것은 식 (24)의 논의를 통해 분명히 이해할 수 있다. 식 (25)의 증명은 양변을 제곱하면 얻을 수 있다.
(26)
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